Der Rechner für die quadratische Gleichung bestimmt die Nullstellen von Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0. Du gibst die drei Koeffizienten a, b und c ein, das Tool löst die Gleichung sofort mit der Mitternachtsformel und zeigt x₁ und x₂. Je nach Diskriminante ergeben sich zwei reelle Lösungen, eine doppelte Lösung oder ein komplexes Lösungspaar – praktisch für Hausaufgaben, Klausurvorbereitung oder um Nullstellen einer Parabel zu prüfen.
So funktioniert der Rechner
Trage die drei Koeffizienten a, b und c der Gleichung ax² + bx + c = 0 ein, voreingestellt sind a = 1, b = -3 und c = 2. Die Lösungen erscheinen sofort bei jeder Eingabe, ganz ohne Bestätigen.
Ist a = 0, meldet der Rechner „a darf nicht 0 sein (sonst nicht quadratisch).“ – denn ohne den Term ax² ist die Gleichung nicht mehr quadratisch, sondern nur noch linear. Fehlt eine der drei Eingaben, erscheint stattdessen der Hinweis „Bitte a, b und c eingeben.“
Die Mitternachtsformel
Die Mitternachtsformel löst jede quadratische Gleichung direkt: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a). Entscheidend ist der Ausdruck unter der Wurzel, die Diskriminante D = b² - 4ac. Sie bestimmt, wie viele Lösungen es gibt:
- Ist D größer als 0, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen x₁ und x₂.
- Ist D gleich 0, gibt es genau eine doppelte Lösung
x = -b / (2a). - Ist D kleiner als 0, gibt es keine reelle Lösung, sondern ein Paar komplexer Lösungen.
Beispiel
Für die Voreinstellung a = 1, b = -3, c = 2 lautet die Gleichung x² - 3x + 2 = 0. Die Diskriminante ist D = (-3)² - 4·1·2 = 9 - 8 = 1, also positiv: x₁ = (3 + 1) / 2 = 2 und x₂ = (3 - 1) / 2 = 1. Probe: (x - 1)(x - 2) = x² - 3x + 2, das Ergebnis stimmt.
Bei a = 1, b = -4, c = 4 wird D = 0, übrig bleibt nur die doppelte Lösung x = 2. Bei a = 1, b = 2, c = 5 wird D = -16 negativ: Die Gleichung x² + 2x + 5 = 0 hat keine reelle Lösung, sondern das komplexe Paar x₁,₂ = -1 ± 2 i.
Wofür brauche ich das?
Quadratische Gleichungen tauchen überall dort auf, wo eine Größe quadratisch von einer anderen abhängt. In der Schule sind das meist Nullstellen von Parabeln beziehungsweise quadratischen Funktionen oder Textaufgaben, bei denen zwei gesuchte Zahlen über Summe und Produkt beschrieben werden. In der Physik lässt sich damit etwa berechnen, wann ein geworfener Gegenstand wieder den Boden erreicht, in der Wirtschaft die Gewinnschwelle bei einer quadratischen Kostenfunktion.
Der Rechner eignet sich, um solche Aufgaben schnell zu lösen oder eine von Hand gerechnete Lösung gegenzuprüfen.